关肇直于《数学学报》第6卷第4期（1956）发表了学术论文“解非线性函数方程的最速下降法”，第一次把梯度法（又称最速下降法）由有限维空间推广到无限维空间，而且和线性问题相仿，其收剑速度是依照等比级数的。这种方法可以用来解某些非线性积分方程以及某些非线性微分方程边值问题。并在文中首先提出了单调算子的思想，比外国学者早四、五年。国外关于单调算子的概念，最早见于1960年扎朗顿尼罗和闵梯的工作。单调算子是非线性泛函分析中很基本的概念之一，单调算子理论已成为泛函分析中的一个重要分支，在处理力学、物理学中的许多非线性问题中被广泛地应用。
激光问题的数学理论
在数学物理方面，关肇直也进行了深入的研究。他在《中国科学》第14卷第7期（1956）上用法文发表了学术沦文关于“激光理论”中积分方程的非零本征值的存在性在论文中他利用泛函分析工具，在很弱的假设下，用极为简短的方式证明了激光理论中一般形式的具有非对称核的线性积分方程非零本征值的存在。这一结果受到国际上的重视。被国外书刊广泛引用，如Magraw—Hill图书公司1972年出版的柯克朗著的《线性积分方程分析》一书就曾详细地引用过。
中子迁移理论
关肇直在数学物理方面的另一个创造，就是关于中子迁移理论的研究。1963年他用希尔伯特空间与不定规度空间的算子谱理论解决了平板几何情形的中子迁移的本征函数问题，著有“关于一类本征值问题”。这比国外罕日布鲁克1973年的同类工作早10年。卡帕和兹维贝尔。在1975年举行的国际迁移理论第四次会议上的报告中，在“迁移理论中有什么创新”标题下，把罕日布鲁克的方法称为求解方程的新方法；但是，罕氏著作中所解决的问题，在关肇直的文章中是早已解决的了。关肇直于1963年完成的这篇论文直到他去世后于1984年发表在《数学物理学报》上，国外同行当得知他在20世纪60年代就作出了如此高水平的工作时都深表惊异。
飞行器弹性控制理论
1974年，关肇直在《中国科学》第4期上发表了“弹性振动的镇定问题”，首先提出了用线性算子紧扰动理论解决飞行器弹性振动的镇定问题。在这之前，美国的著名控制论专家鲁塞尔曾用别的方法讨论过此类问题，但他自己认为他所得的结果“当然并非完全满意”，增益系数的增大应能改进系统的稳定性，但这样整体性结果没有得到……他甚至认为：显然他所用的方法“带来必须小的缺陷……但很怀疑这里定理所表述的结果的确切化用任何别的技术来实现。”可是，与鲁塞尔的怀疑相反，关肇直用了算子紧扰动方法技巧，此方法与鲁塞方法有本质的区别，它确实摆脱了放大系数很小的限制，得出了工程意义更合理的结果。这项成果已经应用到我国的国防尖端技术设计上、成为导弹运载火箭所必不可少的一个设计理论。
几本主要著作
1.《泛函分析讲义》
1958年高等教育出版社出版了关肇直的《泛函分析讲义》。该书吸取了当时国际上几部有名的介绍泛函分析概要的书的长处，内容适中，很具特色，便于自学。这是国内第一部包括当时泛函分析各分支的较全面的专著，国内当时这类书很少；国内除此之外，迄今也仍只一些教科书性质的出版物，所以至今还没有别的书代替它。关肇直曾使用这部著作在1956年和1957年分别为中国科学院数学研究所一批青年同志和北京大学第一届泛函分析专门化学生讲授过《泛函分析》课程，培养了一批从事泛函分析等方面的中青年骨干教师和科研人员。此书至今仍有重大参考价值。
2.《拓扑空间榻论》
科学出版社于1958年出版了关肇直教授的这本书。本书是为了数学分析方面的青年数学工作者的需要而写的。目的是使读者获得关于拓扑空间理论的基础知识。本书在当时是这方面较系统的也是较早的一部专著。作者是按照自己的观点来写的，书中许多定理的证明都是作者给出的，他尽可能地遵循一般实变函数论中的叙述问题的方式，因而有自己的特色。这是为了使读者感到新知识与原有知识有联系，对新的抽象概念不至感到突然，同时又帮助读者直达科学研究的前沿。根据研究概率论方面的读者反映，对他们研究极限定理一类工作颇有帮助。
3.《高等数学教程》
人民教育出版社于1959年出版。本书是关肇直在中国科技大学开办应用数学专业讲授高等数学课程而编写的教材，特点是：材料比较丰富，注意理论联系实际。
4.《线性泛函分析入门》
上海科技出版社于1979年出版。关肇直同他的学生张恭庆、冯德兴合著。著书的目的是为了满足多方面科学研究工作者的需要，因为当时线性泛函分析已成为许多从事科学技术研究的人所渴望了解和应用的一门数学学科。此书的特点是：尽可能从一些问题提炼出泛函分析中的基本概念，让读者透过叙述方法了解到研究的过程。
5.《现代控制系统理论小丛书》
这是由关肇直主编的，包括线性系统理论、非线性系统理论、极值控制理论、系统辨识、最优控制与随机控制理论、分布参数系统理论及其它有关内容，共分十几分册，由科学出版社从1975年开始陆续出版。这套丛书介绍了现代控制系统理论的各个部分，并着重说明这种理论怎样由工程实践的需要而产生，又怎样用来解决工程设计中的实际问题。此丛书主要是为从事控制理论研究的科学工作者和工程技术人员而撰写的。此丛书的出版，对于促进我国的控制理论和控制技术的发展起到了很好的作用。
吴文俊
吴文俊，1919年5月12日生于上海，世界著名数学家，1940年毕业于交通大学，1949年获法国国家博士学位。中国科学院数学与系统科学研究院系统科学研究所研究员、名誉所长，中国数学会名誉理事长。
吴文俊是中国数学机械化研究的创始人之一，中国科学院院士，第三世界科学院院士；曾任中国数学会理事长（1985~1987），中国科学院数理学部主任（1992~1994），全国政协委员、常委（1979~1998）。
吴文俊在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献，在国内外享有盛誉。他在拓扑学的示性类、示嵌类的研究方面取得一系列重要成果，是拓扑学中的奠基性工作并有许多重要应用。他的“吴方法”在国际机器证明领域产生巨大的影响，有广泛重要的应用价值。当前国际流行的主要符号计算软件都实现了吴文俊教授的算法。
